jueves, 13 de junio de 2019
Función bien definida
La función compuesta está bien definida porque cumple con las dos condiciones de existencia y unicidad, propias de toda función:
1. Condición de existencia: dado x, conocemos (x, f(x)), puesto que conocemos la función f, y dado cualquier elemento y de B conocemos también (y, g(y)), puesto que conocemos la función g. Por tanto, (x, g( f(x)) ) está definido para todo x, y así (g ∘ f) cumple la condición de existencia.
2. Condición de unicidad: como f y g son funciones bien definidas, para cada x el valor de f(x) es único, y para cada f(x) también lo es el de g( f(x)).
Determinaremos algunas composiciones, ejemplos:
1. (fog)(x) = 3(x2+3x)-2 = 3x2+9x-2
R=3x2+9x-2
(Se puede observar que sustituimos la funcion de g(x) por las x de la función f(x) y todo se hace de derecha a izquierda)
2. (x) = (3x-2)2 + 3(3x-2) = 9x2-12x +4 + 9x -6 (simplificamos en términos iguales) = 9x2 -3x -2
R=9x2-3x-2
3. (x)= √(3/(x-1 )-2
R= √(3/(x-1 )-2 (ya no se puede simplificar más, hasta ahí queda el resultado)
4. (x) = (√x+2)2 + 3(√x+2) = (x+2) + 3√x+2 (primero se resuelve (goh)(x))
=3(x+2) + 3√x+2 -2 (después ya sustituimos el resultado en f)
=3x+6 + 3√x+2 -2 (simplificamos)
=3x+4 + 3√x+2
R=3x+4 + 3√x+2
Composición de funciones
Función compuesta
Una función compuesta es una funcion formada por
la composicion o aplicación sucesiva de otras dos funciones. Para
ello, se aplica sobre el argumento la función más próxima al mismo, y al
resultado del cálculo anterior se le aplica finalmente la función restante.
Usando la notación matemática, la función compuesta g ∘ f: X → Z expresa que (g ∘ f)(x) = g(f(x)) para
todo x perteneciente X.
Para denotar las composiciones se pone el símbolo "o".
Ejemplo: (g ∘ f)(x) <--- esto significa que la función de f(x) está compuesta por h(x). Para hacer las composiciones se sustituye de derecha a izquierda, se hacen las operaciones indicadas y se simplifica para obtener los resultados.
A g ∘ f se le llama composición de f y g. Nótese que se nombra no siguiendo el orden de escritura, sino el orden en que se aplican las funciones a su argumento.
De manera formal, dadas dos funciones f: X → Y y g: Y → Z, donde la imagen de f está contenida en el dominio de g, se define la función composición (g ∘ f ): X → Z como (g ∘ f)(x) = g (f(x)), para todos los elementos x de X.
La composición de funciones es asociativa, es decir:
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